Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é através do gráfico, pois permite-nos uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação.
Observação: para construirmos o gráfico de uma função do 2º grau precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ > 0, duas raízes reais e distintas
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Para determinar o valor de ∆ e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara.
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Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo
Exemplo 1
y = x² – 3x + 2
x² – 3x + 2 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆ = 9 – 8
∆ = 1.jpg)
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo
Exemplo 1
y = x² – 3x + 2
x² – 3x + 2 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆ = 9 – 8
∆ = 1
A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e duas raízes reais e distintas.
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Análise do gráfico
x < 1 ou x > 2, y > 0
Valores entre 1 e 2, y < 0
x = 1 e x = 2, y = 0
Exemplo 2
y = x² + 8x + 16
x² + 8x + 16 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0
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A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz real.
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Análise do gráfico
x = –4, y = 0
x ≠ –4, y > 0
Exemplo 3
y = 3x² – 2x + 1
3x² – 2x + 1 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1
∆ = 4 – 12
∆ = – 8
A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.
x = –4, y = 0
x ≠ –4, y > 0
Exemplo 3
y = 3x² – 2x + 1
3x² – 2x + 1 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1
∆ = 4 – 12
∆ = – 8
A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.
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Análise do gráfico
A função será positiva para qualquer valor real de x.
Exemplo 4
y = – 2x² – 5x + 3
– 2x² – 5x + 3 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3
∆ = 25 + 24
∆ = 49
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A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e distintas.
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Análise do gráfico
x < –3 ou x > 1/2, y < 0
Valores entre – 3 e 1/2, y > 0
x = –3 e x = 1/2, y = 0
Exemplo 5
y = –x² + 12x – 36
–x² + 12x – 36 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = 12² – 4 * (–1) * (–36)
∆ = 144 – 144
∆ = 0
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A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única raiz real.
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Análise do gráfico
x = 6, y = 0
x ≠ 6, y < 0
Postado por Grupo Evolução! -
Bruno Hiago
A partir do estudo dos sinais da função do 2.º grau, podemos resolver inequações de mesmo grau ou inequações que apresentem produtos ou quocientes de trinômios de 2.º grau. Tais inequações podem também apresentar binômios de 1.º grau.
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