Aqui veremos a classificação das funções, a resolução, as propriedades, os coeficientes e raízes, resolução de equações fracionárias de 2° grau, resolução de equações literais do 2° grau e resolução das equações biquadradas.
http://www.exatas.mat.br/equacao2.htm
Grupo descobrindo a Matemática (Tainá Coutinho)
segunda-feira, 20 de setembro de 2010
Função Quadrática - Parábolas
Esse site aqui fala sobre as parábolas das funções : http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/func/quapar.htm
Grupo Descobrindo a Matemática (Tainá Coutinho)
Grupo Descobrindo a Matemática (Tainá Coutinho)
Funçao Quadratica
Função quadrática é toda função definida por f(x) = ax² + bx + c, onde os coeficientes a, b e c são números reais e a ≠ 0. Exemplos: F(x) = -2x² -24x + 400, onde a = -2, b = -24, c = 400 F(x) = x² - 9, onde a = 1, b = 0, c = -9 F(x) = -5x + 2x² -12, onde a = 2, b = -5, c = -12 Função quadrática.
F(x) = 3x² - 6x + 4 Pronto! A função já está na forma geral. a= 3 b= -6 c= 4 A função quadrática pode apresentar-se de forma “embaralhada”. Assim, teremos que aplicar algumas propriedades algébricas para colocá-la na forma geral que é ax² + bx + c. F(x) = 3( x² - 2x) + 4 Multiplicamos o 3 pelos termos de dentro dos parênteses e repetimos o 4 que está fora dos parênteses .
Gráfico de uma função quadrática. O gráfico de uma função quadrática f: R → R é sempre uma curva denominada: Parábola. A parábola pode ter a concavidade voltada para cima A parábola pode ter a concavidade voltada para baixo Nunca para os lados...
Construir o gráfico de uma função quadrática é molezinha! Ao invés de fazer aquela famosa tabelinha (que na maioria das vezes erramos demais nos sinais) podemos seguir 4 passos bem simples . Você está preparado para gravar os passos? Então vamos lá ... Como construir o gráfico de uma função quadrática ????? Vamos construir o gráfico da função f:R→R definida por f(x) = x2 - 2x - 3
1º PASSO) Observar e separar o coeficiente a, pois ele tem um papel muito importante: dizer se a parábola terá concavidade para cima ou para baixo. Se o coeficiente a for positivo, ou seja, maior que zero, a concavidade da parábola será para cima. Como? É simples!!! Se o coeficiente a for negativo, ou seja, menor que zero, a concavidade da parábola será para baixo
Como a nossa função é x² - 2x – 3, observamos que o coeficiente a é 1, ou seja, um número positivo, então já descobrimos que a nossa parábola terá a concavidade voltada para cima!!! Moleza! Faltam só mais 3 passos
2º PASSO) Observar e separar o coeficiente c, pois ele também tem um papel muito importante: dizer onde a parábola cortará o eixo y. y x Como a nossa função é x² - 2x – 3, sabemos que o coeficiente c é -3, então a parábola vai cortar o eixo y no -3. - 3 AQUI Vai ficar mais ou menos assim
3º PASSO) Agora que já sabemos onde a parábola vai cortar o eixo y, falta saber o que? Isso aí! Para saber onde a parábola cortará o eixo x, basta pegarmos a função (aquela: x² -2x -3, lembra?) e igualá-la a zero. Veja: x² - 2x - 3 = 0 Agora virou uma equação do 2º grau, daí é só resolver! A parábola cortará o eixo x no x’ e no x’’.
Vamos, então, resolver a equação x² - 2x - 3 = 0 ? a= 1 b= -2 c= -3 ∆ = b² - 4.a.c ∆ = (-2)² - 4.1.(-3) ∆ = +4 + 12 ∆ = 16 X = - b ± √ ∆ 2a X = +2 ± √ 16 2 . 1 X = +2 ± 4 2 x’ = 2+4 = 6 = 3 2 2 x’’ = 2 - 4= -2 = -1 2 2.
Como x’ é 3 e x’’ é -1, já sabemos que a parábola cortará o eixo x no 3 e no -1. Veja: - 3 - 1 3 y x AQUI AQUI Viva! O gráfico está quase pronto!!! Agora só falta o 4º passo
4º PASSO) Lá no passo 1, vimos que a concavidade da parábola ficará para cima, pois o coeficiente a é positivo. Mas temos que saber também o ponto exato(x,y) onde o vento faz a curva, ops, quer dizer, onde a PARÁBOLA vai fazer a curva! Esse ponto é chamado de vértice da função e ele é dado por duas fórmulas, a fórmula do x e a fórmula do y. Veja: - b , - ∆ 2a 4a x y
b , - ∆ 2a 4a Substituindo a fórmula do vértice, temos... a = 1 b = - 2 ∆ = 16 +2 , - 16 2.1 4.1 +2 , - 16 2 4 1 , - 4 Pronto! A parábola fará a curva no ponto (1 , - 4)
3 - 1 3 y x A parábola fará a curva AQUI 1 - 4
Fácil, né? Mas agora é hora de deixar de ser telespectador e colocar a mão na massa. Vamos praticar ??? Tem essas duas funcões f:R → R para você construir os gráficos, usando os 4 passos estudados na aula de hoje. F(x) = x² + 4x - 5 F(x) = - x² + 2x + 3
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Grupo:Chelsea
F(x) = 3x² - 6x + 4 Pronto! A função já está na forma geral. a= 3 b= -6 c= 4 A função quadrática pode apresentar-se de forma “embaralhada”. Assim, teremos que aplicar algumas propriedades algébricas para colocá-la na forma geral que é ax² + bx + c. F(x) = 3( x² - 2x) + 4 Multiplicamos o 3 pelos termos de dentro dos parênteses e repetimos o 4 que está fora dos parênteses .
Gráfico de uma função quadrática. O gráfico de uma função quadrática f: R → R é sempre uma curva denominada: Parábola. A parábola pode ter a concavidade voltada para cima A parábola pode ter a concavidade voltada para baixo Nunca para os lados...
Construir o gráfico de uma função quadrática é molezinha! Ao invés de fazer aquela famosa tabelinha (que na maioria das vezes erramos demais nos sinais) podemos seguir 4 passos bem simples . Você está preparado para gravar os passos? Então vamos lá ... Como construir o gráfico de uma função quadrática ????? Vamos construir o gráfico da função f:R→R definida por f(x) = x2 - 2x - 3
1º PASSO) Observar e separar o coeficiente a, pois ele tem um papel muito importante: dizer se a parábola terá concavidade para cima ou para baixo. Se o coeficiente a for positivo, ou seja, maior que zero, a concavidade da parábola será para cima. Como? É simples!!! Se o coeficiente a for negativo, ou seja, menor que zero, a concavidade da parábola será para baixo
Como a nossa função é x² - 2x – 3, observamos que o coeficiente a é 1, ou seja, um número positivo, então já descobrimos que a nossa parábola terá a concavidade voltada para cima!!! Moleza! Faltam só mais 3 passos
2º PASSO) Observar e separar o coeficiente c, pois ele também tem um papel muito importante: dizer onde a parábola cortará o eixo y. y x Como a nossa função é x² - 2x – 3, sabemos que o coeficiente c é -3, então a parábola vai cortar o eixo y no -3. - 3 AQUI Vai ficar mais ou menos assim
3º PASSO) Agora que já sabemos onde a parábola vai cortar o eixo y, falta saber o que? Isso aí! Para saber onde a parábola cortará o eixo x, basta pegarmos a função (aquela: x² -2x -3, lembra?) e igualá-la a zero. Veja: x² - 2x - 3 = 0 Agora virou uma equação do 2º grau, daí é só resolver! A parábola cortará o eixo x no x’ e no x’’.
Vamos, então, resolver a equação x² - 2x - 3 = 0 ? a= 1 b= -2 c= -3 ∆ = b² - 4.a.c ∆ = (-2)² - 4.1.(-3) ∆ = +4 + 12 ∆ = 16 X = - b ± √ ∆ 2a X = +2 ± √ 16 2 . 1 X = +2 ± 4 2 x’ = 2+4 = 6 = 3 2 2 x’’ = 2 - 4= -2 = -1 2 2.
Como x’ é 3 e x’’ é -1, já sabemos que a parábola cortará o eixo x no 3 e no -1. Veja: - 3 - 1 3 y x AQUI AQUI Viva! O gráfico está quase pronto!!! Agora só falta o 4º passo
4º PASSO) Lá no passo 1, vimos que a concavidade da parábola ficará para cima, pois o coeficiente a é positivo. Mas temos que saber também o ponto exato(x,y) onde o vento faz a curva, ops, quer dizer, onde a PARÁBOLA vai fazer a curva! Esse ponto é chamado de vértice da função e ele é dado por duas fórmulas, a fórmula do x e a fórmula do y. Veja: - b , - ∆ 2a 4a x y
b , - ∆ 2a 4a Substituindo a fórmula do vértice, temos... a = 1 b = - 2 ∆ = 16 +2 , - 16 2.1 4.1 +2 , - 16 2 4 1 , - 4 Pronto! A parábola fará a curva no ponto (1 , - 4)
3 - 1 3 y x A parábola fará a curva AQUI 1 - 4
Fácil, né? Mas agora é hora de deixar de ser telespectador e colocar a mão na massa. Vamos praticar ??? Tem essas duas funcões f:R → R para você construir os gráficos, usando os 4 passos estudados na aula de hoje. F(x) = x² + 4x - 5 F(x) = - x² + 2x + 3
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Grupo:Chelsea
Resolvendo a Equação Quadrática ou Função Quadrática?
Sei que a resolução da equação quadrática seria algo como:
ax² + bx + c = 0
a (x² + (b/a)x + c/a) = 0
x² + (b/a)x = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) - b²/4a² = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) = b²/4a² - c/a
onde x² + (b/a)x + b²/4a² == (x + b/2a)²
então...
(x + b/2a)² = b²/4a² - c/a
(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²
x + b/2a = (±√(b² - 4ac))/2a
x = (±√(b² - 4ac))/2a - b/2a
x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a
sendo ∆ = b² - 4ac
por fim... x = (-b ± √∆)/2a
Sendo as vertices dessa parabola V = ( -b/2a , -∆/4a)
Eis agora minha dúvida..
Na parte em que somamos e subtraimos b²/4a² .. daonde veio este termo? E por que exatamente b²/4a²? Esse termo têm algum significado específico (Tipo vertices ou outra coisa..)? E como chegaram a descobrir exatamente esse b²/4a² para a resolução da questão?
[2] Segundo Exercicio
Apartir do momento em que se chega a equação
x² + (b/a)x = -c/a
somamos e subtraimos b²/4a², o que na prática não altera o sentido da equação.
O termo b²/4a² foi utilizado em razão de tornar a expressão
x² + (b/a)x + b²/4a² um trinômio quadrado perfeito (o mesmo dos produtos notáveis), observe que:
x² + (b/a)x + b²/4a² = (x + b/2a)²
Portanto, o termo b²/4a² não tem nenhum significado específico.
Você compreenderia melhor caso o seu professor mostrasse como se resolve equação do 2° grau sem a fórmula de Báskara.
Ex:
Resolver a equação
x² - 6x +5 = 0 (i)
observe que x² - 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito, pois
x² - 6x + 9 = (x - 3)².
Logo se somamos e subtrairmos 9 a equação (i), que na prática a soma é nula, resultará:
x² - 6x + (9 - 9) + 5 = 0
x² - 6x + 9 - 9 + 5 = 0
x² - 6x + 9 - 4 = 0, como x² - 6x + 9 = (x - 3)², então:
(x - 3)² - 4 = 0, isolando o 4 no 2° membro, fica:
(x - 3)² = 4 (ii)
Antes de resolvermos a equação, observe a resolução da equação incompleta abaixo:
x² = 16 ⇔ x = ±√16 = ± 4
Voltando a equação (ii):
(x - 3) = ±√4
x - 3 = ±2
logo:
x - 3 = 2 (a) ou x - 3 = -2 (b)
de (a), fica:
x - 3 = 2
x = 5
de (b), fica:
x - 3 = -2
x = 1
x = 5 ou x = 1
Verifique as raízes utilizando o delta.
O mesmo artifício que usei para resolver a equação acima foi utilizado para demonstrar a fórmula de Báskara.
Sua dúvida foi brilhante, pois há muitos alunos que não atentam para esses detalhes tão importantes! Continue estudando.
[ 3] Exercicio
a função quadrática é uma função de segundo grau, ou seja, ax^2 + bx +c =0, com lei de formação (x -x´)(x-x´´) onde x´e x´´ são as raízes da equação do segundo grau e este produto sendo x^2 - sx + p = 0
s = x´+ x´´
p = x´* x´
Exemplo:
x^2 - 5x + 4 = 0
para resolver esta equação utiliza-se da fórmula de Bhaskara
x =[ 5 + ou - sqrt (5*5 - 4*1*4)] / 2
x = [5 + ou - sqrt 9]/ 2
x = [5 + ou - 3]/ 2
x ´= [5 + 3]/ 2 ==>x´= 8/2 = 4
x ´´= [5 - 3]/ 2 ==> x´´ ==> 2/2 ==> 1
[4] Eercicio
A função quadrática f:R->R é definida por
f(x)=ax²+bx+c
onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão
a x² + b x + c = 0
representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.
Aplicações práticas das parábolas
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:
Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.
[THALITA ] Grupo Operação de Etudos
ax² + bx + c = 0
a (x² + (b/a)x + c/a) = 0
x² + (b/a)x = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) - b²/4a² = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) = b²/4a² - c/a
onde x² + (b/a)x + b²/4a² == (x + b/2a)²
então...
(x + b/2a)² = b²/4a² - c/a
(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²
x + b/2a = (±√(b² - 4ac))/2a
x = (±√(b² - 4ac))/2a - b/2a
x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a
sendo ∆ = b² - 4ac
por fim... x = (-b ± √∆)/2a
Sendo as vertices dessa parabola V = ( -b/2a , -∆/4a)
Eis agora minha dúvida..
Na parte em que somamos e subtraimos b²/4a² .. daonde veio este termo? E por que exatamente b²/4a²? Esse termo têm algum significado específico (Tipo vertices ou outra coisa..)? E como chegaram a descobrir exatamente esse b²/4a² para a resolução da questão?
[2] Segundo Exercicio
Apartir do momento em que se chega a equação
x² + (b/a)x = -c/a
somamos e subtraimos b²/4a², o que na prática não altera o sentido da equação.
O termo b²/4a² foi utilizado em razão de tornar a expressão
x² + (b/a)x + b²/4a² um trinômio quadrado perfeito (o mesmo dos produtos notáveis), observe que:
x² + (b/a)x + b²/4a² = (x + b/2a)²
Portanto, o termo b²/4a² não tem nenhum significado específico.
Você compreenderia melhor caso o seu professor mostrasse como se resolve equação do 2° grau sem a fórmula de Báskara.
Ex:
Resolver a equação
x² - 6x +5 = 0 (i)
observe que x² - 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito, pois
x² - 6x + 9 = (x - 3)².
Logo se somamos e subtrairmos 9 a equação (i), que na prática a soma é nula, resultará:
x² - 6x + (9 - 9) + 5 = 0
x² - 6x + 9 - 9 + 5 = 0
x² - 6x + 9 - 4 = 0, como x² - 6x + 9 = (x - 3)², então:
(x - 3)² - 4 = 0, isolando o 4 no 2° membro, fica:
(x - 3)² = 4 (ii)
Antes de resolvermos a equação, observe a resolução da equação incompleta abaixo:
x² = 16 ⇔ x = ±√16 = ± 4
Voltando a equação (ii):
(x - 3) = ±√4
x - 3 = ±2
logo:
x - 3 = 2 (a) ou x - 3 = -2 (b)
de (a), fica:
x - 3 = 2
x = 5
de (b), fica:
x - 3 = -2
x = 1
x = 5 ou x = 1
Verifique as raízes utilizando o delta.
O mesmo artifício que usei para resolver a equação acima foi utilizado para demonstrar a fórmula de Báskara.
Sua dúvida foi brilhante, pois há muitos alunos que não atentam para esses detalhes tão importantes! Continue estudando.
[ 3] Exercicio
a função quadrática é uma função de segundo grau, ou seja, ax^2 + bx +c =0, com lei de formação (x -x´)(x-x´´) onde x´e x´´ são as raízes da equação do segundo grau e este produto sendo x^2 - sx + p = 0
s = x´+ x´´
p = x´* x´
Exemplo:
x^2 - 5x + 4 = 0
para resolver esta equação utiliza-se da fórmula de Bhaskara
x =[ 5 + ou - sqrt (5*5 - 4*1*4)] / 2
x = [5 + ou - sqrt 9]/ 2
x = [5 + ou - 3]/ 2
x ´= [5 + 3]/ 2 ==>x´= 8/2 = 4
x ´´= [5 - 3]/ 2 ==> x´´ ==> 2/2 ==> 1
[4] Eercicio
A função quadrática f:R->R é definida por
f(x)=ax²+bx+c
onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão
a x² + b x + c = 0
representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.
Aplicações práticas das parábolas
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:
Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.
[THALITA ] Grupo Operação de Etudos
Função do 2º grau
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.
Thalita GRupo Operação de estudos
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Grupo:Chelsea
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Grupo:Chelsea
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domingo, 19 de setembro de 2010
Funções exercícios de Matemática!
1 – Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por
f(x) = 2x - 3 e f(g(x)) = -4x + 1. Nestas condições, g(-1) é igual a:
a) -5
b) -4
c) 0
d) 4
e) 5
2 – O maior valor assumido pela função y = 2 - ½ x - 2½ é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
3 – O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) = ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das
abcissas nos pontos (a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c - b - a é:
a) 4
b) -4
c) 5
d) -5
e) 0
4 – Se f (g (x) ) = 5x - 2 e f (x) = 5x + 4 , então g(x) é igual a:
a) x - 2
b) x - 6
c) x - 6/5
d) 5x - 2
e) 5x + 2
5 – Chama-se ponto fixo de uma função f a um número x tal que f(x) = x. Se o ponto fixo da
função f(x) = mx + 5 é igual a 10, então podemos afirmar que o módulo do décuplo do ponto fixo da
função g(x) = 2x - m é igual a:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
6 _ A imagem da função f(x) = (4x + 2) / 3 é (-¥ , 5] , para todo x pertencente a R tal que:
a) x
£ 13/4
b) x
< 3/4
c) x
£ 3/4
d) x
< 17/4
e) x
< 11
7 - Seja f : R ® R , uma função tal que f ( x ) = k.x - 1. Se f [ f ( 2 ) ] = 0 e f é estritamente
decrescente, o valor da k-ésima potência de 2 é igual aproximadamente a:
a) 0,500
b) 0,866
c) 0,125
d) 0,366
e) 0,707
8 - Seja f(x) = ax + b; se os pares ordenados (1,5) Î f e (2,9) Î f então podemos afirmar que o valor do produto (a + b) (10a + 5b) é igual a:
a) 225
b) 525
c) 255
d) 100
e) 1000
9 - A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas condições, f(3x + 2) é igual a:
a) 2x + 3
b) 3x + 2
c) (2x + 3) / 2
d) (9x + 1) /2
e) (9x - 1) / 3
10 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que
a igualdade gof(x) = fog(x) ocorrerá se e somente se:
a) b(1 - c) = d(1 - a)
b) a(1 - b) = d(1 - c)
c) ab = cd
d) ad = bc
e) a = bc
Postado por Grupo Evolução! - Bruno Hiago
Curiosidade sobre Função Quadrática! (Origem da palavra)
Em geral,um prefixo quadr(i)- indica o número 4. Como em quadrilátero e quadrante. Quadratum é a palavra latina para quadrado por que um quadrado tem quatro lados.
Postado por Grupo Evolução! - Bruno Hiago
Funções de 1° e 2° grau.
Está aqui o video falando sobre o assunto : http://www.youtube.com/watch?v=WNKQSQxFnwM
Grupo: Descobrindo a Matemática - Tainá Coutinho
Grupo: Descobrindo a Matemática - Tainá Coutinho
Estudo dos sinais.
Estude os sinais através deste site : http://www.brasilescola.com/matematica/estudo-dos-sinais.htm
Grupo Descobrindo a Matemática - Tainá Coutinho
Grupo Descobrindo a Matemática - Tainá Coutinho
Função de 1° grau !
Uma função do 1º grau pode ser chamada de função afim. Pra que uma função seja considerada afim ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 1º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax + b, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b deve pertencer ao conjunto dos reais.
Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é:
f: R→ R definida por f(x) = ax + b, com a R* e b R.
Veja alguns exemplos de Função afim.
f(x) = 2x + 1 ; a = 2 e b = 1
f(x) = - 5x – 1 ; a = -5 e b = -1
f(x) = x ; a = 1 e b = 0
f(x) = - 1 x + 5 ; a = -1 e b = 5
2 2
Toda função a do 1º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.
A função do 1º grau f(x) = 2x – 3 pode ser representada por y = 2x – 3. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.
Vamos dizer que x = -2 ; -1 ; 0 ; 1. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:
x = -2 x = - 1 x = 0
y = 2 . (-2) – 3 y = 2 . (-1) – 3 y = 2 . 0 - 3
y = - 4 – 3 y = -2 – 3 y = -3
y = - 7 y = - 5
x = 1
y = 2 . 1 – 3
y = 2 – 3
y = -1
Os valores de x são o domínio e a imagem e o contradomínio são os valores de y. Então, podemos dizer que Im = R.
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Então, podemos dizer que a definição de função do 1º grau é:
f: R→ R definida por f(x) = ax + b, com a R* e b R.
Veja alguns exemplos de Função afim.
f(x) = 2x + 1 ; a = 2 e b = 1
f(x) = - 5x – 1 ; a = -5 e b = -1
f(x) = x ; a = 1 e b = 0
f(x) = - 1 x + 5 ; a = -1 e b = 5
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Toda função a do 1º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.
A função do 1º grau f(x) = 2x – 3 pode ser representada por y = 2x – 3. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.
Vamos dizer que x = -2 ; -1 ; 0 ; 1. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:
x = -2 x = - 1 x = 0
y = 2 . (-2) – 3 y = 2 . (-1) – 3 y = 2 . 0 - 3
y = - 4 – 3 y = -2 – 3 y = -3
y = - 7 y = - 5
x = 1
y = 2 . 1 – 3
y = 2 – 3
y = -1
Os valores de x são o domínio e a imagem e o contradomínio são os valores de y. Então, podemos dizer que Im = R.
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Sinais da Função de 2º Grau
Estudar o sinal de uma função, é determinar para quais valores reais de x a função é positiva, negativa ou nula. A melhor maneira de analisar o sinal de uma função é através do gráfico, pois permite-nos uma avaliação mais ampla da situação. Vamos analisar os gráficos das funções a seguir, de acordo com a sua lei de formação.
Observação: para construirmos o gráfico de uma função do 2º grau precisamos determinar o número de raízes da função, e se a parábola possui concavidade voltada para cima ou para baixo.
∆ = 0, uma raiz real.
∆ > 0, duas raízes reais e distintas
∆ < 0, nenhuma raiz real.
Para determinar o valor de ∆ e os valores das raízes, utilize o método de Bháskara.
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Coeficiente a > 0, parábola com a concavidade voltada para cima
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo
Exemplo 1
y = x² – 3x + 2
x² – 3x + 2 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆ = 9 – 8
∆ = 1.jpg)
Coeficiente a < 0, parábola com a concavidade voltada para baixo
Exemplo 1
y = x² – 3x + 2
x² – 3x + 2 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (−3)² – 4 * 1 * 2
∆ = 9 – 8
∆ = 1
A parábola possui concavidade voltada para cima em virtude de a > 0 e duas raízes reais e distintas.
.jpg)
Análise do gráfico
x < 1 ou x > 2, y > 0
Valores entre 1 e 2, y < 0
x = 1 e x = 2, y = 0
Exemplo 2
y = x² + 8x + 16
x² + 8x + 16 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = 8² – 4 * 1 * 16
∆ = 64 – 64
∆ = 0
.jpg)
A parábola possui concavidade voltada para cima, em virtude de a > 0 e uma única raiz real.
.jpg)
Análise do gráfico
x = –4, y = 0
x ≠ –4, y > 0
Exemplo 3
y = 3x² – 2x + 1
3x² – 2x + 1 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1
∆ = 4 – 12
∆ = – 8
A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.
x = –4, y = 0
x ≠ –4, y > 0
Exemplo 3
y = 3x² – 2x + 1
3x² – 2x + 1 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (–2)² – 4 * 3 * 1
∆ = 4 – 12
∆ = – 8
A parábola possui concavidade voltada para cima em decorrência de a > 0, mas não possui raízes reais, pois ∆ < 0.
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Análise do gráfico
A função será positiva para qualquer valor real de x.
Exemplo 4
y = – 2x² – 5x + 3
– 2x² – 5x + 3 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = (–5)² – 4 * (–2) * 3
∆ = 25 + 24
∆ = 49
.jpg)
A parábola possui concavidade voltada para baixo em face de a< 0 e duas raízes reais e distintas.
.jpg)
Análise do gráfico
x < –3 ou x > 1/2, y < 0
Valores entre – 3 e 1/2, y > 0
x = –3 e x = 1/2, y = 0
Exemplo 5
y = –x² + 12x – 36
–x² + 12x – 36 = 0
Aplicando Bháskara
∆ = 12² – 4 * (–1) * (–36)
∆ = 144 – 144
∆ = 0
.jpg){kind=small}
A parábola possui concavidade voltada para baixo em decorrência de a < 0 e uma única raiz real.
.jpg)
Análise do gráfico
x = 6, y = 0
x ≠ 6, y < 0
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Bruno Hiago
Raízes da Função de 2º Grau
Determinar a raiz de uma função é calcular os valores de x que satisfazem a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que podem ser encontradas através do Teorema de Bháskara:
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Número de raízes reais da função do 2º grau
Dada a função f(x) = ax² + bx + c, existirão três casos a serem considerados para a obtenção do número de raízes. Isso dependerá do valor do discriminante Δ.
1º caso → Δ > 0: A função possui duas raízes reais e distintas, isto é, diferentes.
2º caso → Δ = 0: A função possui raízes reais e iguais. Nesse caso, dizemos que a função possui uma única raiz.
3º caso → Δ < 0: A função não possui raízes reais.
Soma e produto das raízes
Seja a equação, ax² + bx + c = 0, temos que:
Se Δ ≥ 0, a soma das raízes dessa equação é dada por .jpg)
e o produto das raízes por .jpg)
. De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos:
e o produto das raízes por . De fato, x’ e x’’ são as raízes da equação, por isso temos: .jpg)
Soma das raízes
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Produto das raízes
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Efetuando a multiplicação, temos:
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Substituindo Δ por b² – 4ac, temos:
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Após a simplificação, temos:
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Bruno Hiago
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