Sei que a resolução da equação quadrática seria algo como:
ax² + bx + c = 0
a (x² + (b/a)x + c/a) = 0
x² + (b/a)x = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) - b²/4a² = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) = b²/4a² - c/a
onde x² + (b/a)x + b²/4a² == (x + b/2a)²
então...
(x + b/2a)² = b²/4a² - c/a
(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²
x + b/2a = (±√(b² - 4ac))/2a
x = (±√(b² - 4ac))/2a - b/2a
x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a
sendo ∆ = b² - 4ac
por fim... x = (-b ± √∆)/2a
Sendo as vertices dessa parabola V = ( -b/2a , -∆/4a)
Eis agora minha dúvida..
Na parte em que somamos e subtraimos b²/4a² .. daonde veio este termo? E por que exatamente b²/4a²? Esse termo têm algum significado específico (Tipo vertices ou outra coisa..)? E como chegaram a descobrir exatamente esse b²/4a² para a resolução da questão?
[2] Segundo Exercicio
Apartir do momento em que se chega a equação
x² + (b/a)x = -c/a
somamos e subtraimos b²/4a², o que na prática não altera o sentido da equação.
O termo b²/4a² foi utilizado em razão de tornar a expressão
x² + (b/a)x + b²/4a² um trinômio quadrado perfeito (o mesmo dos produtos notáveis), observe que:
x² + (b/a)x + b²/4a² = (x + b/2a)²
Portanto, o termo b²/4a² não tem nenhum significado específico.
Você compreenderia melhor caso o seu professor mostrasse como se resolve equação do 2° grau sem a fórmula de Báskara.
Ex:
Resolver a equação
x² - 6x +5 = 0 (i)
observe que x² - 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito, pois
x² - 6x + 9 = (x - 3)².
Logo se somamos e subtrairmos 9 a equação (i), que na prática a soma é nula, resultará:
x² - 6x + (9 - 9) + 5 = 0
x² - 6x + 9 - 9 + 5 = 0
x² - 6x + 9 - 4 = 0, como x² - 6x + 9 = (x - 3)², então:
(x - 3)² - 4 = 0, isolando o 4 no 2° membro, fica:
(x - 3)² = 4 (ii)
Antes de resolvermos a equação, observe a resolução da equação incompleta abaixo:
x² = 16 ⇔ x = ±√16 = ± 4
Voltando a equação (ii):
(x - 3) = ±√4
x - 3 = ±2
logo:
x - 3 = 2 (a) ou x - 3 = -2 (b)
de (a), fica:
x - 3 = 2
x = 5
de (b), fica:
x - 3 = -2
x = 1
x = 5 ou x = 1
Verifique as raízes utilizando o delta.
O mesmo artifício que usei para resolver a equação acima foi utilizado para demonstrar a fórmula de Báskara.
Sua dúvida foi brilhante, pois há muitos alunos que não atentam para esses detalhes tão importantes! Continue estudando.
[ 3] Exercicio
a função quadrática é uma função de segundo grau, ou seja, ax^2 + bx +c =0, com lei de formação (x -x´)(x-x´´) onde x´e x´´ são as raízes da equação do segundo grau e este produto sendo x^2 - sx + p = 0
s = x´+ x´´
p = x´* x´
Exemplo:
x^2 - 5x + 4 = 0
para resolver esta equação utiliza-se da fórmula de Bhaskara
x =[ 5 + ou - sqrt (5*5 - 4*1*4)] / 2
x = [5 + ou - sqrt 9]/ 2
x = [5 + ou - 3]/ 2
x ´= [5 + 3]/ 2 ==>x´= 8/2 = 4
x ´´= [5 - 3]/ 2 ==> x´´ ==> 2/2 ==> 1
[4] Eercicio
A função quadrática f:R->R é definida por
f(x)=ax²+bx+c
onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão
a x² + b x + c = 0
representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.
Aplicações práticas das parábolas
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:
Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.
[THALITA ] Grupo Operação de Etudos
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