Aqui veremos a classificação das funções, a resolução, as propriedades, os coeficientes e raízes, resolução de equações fracionárias de 2° grau, resolução de equações literais do 2° grau e resolução das equações biquadradas.
http://www.exatas.mat.br/equacao2.htm
Grupo descobrindo a Matemática (Tainá Coutinho)
CLUBE VIRTUAL 1004
segunda-feira, 20 de setembro de 2010
Função Quadrática - Parábolas
Esse site aqui fala sobre as parábolas das funções : http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/func/quapar.htm
Grupo Descobrindo a Matemática (Tainá Coutinho)
Grupo Descobrindo a Matemática (Tainá Coutinho)
Funçao Quadratica
Função quadrática é toda função definida por f(x) = ax² + bx + c, onde os coeficientes a, b e c são números reais e a ≠ 0. Exemplos: F(x) = -2x² -24x + 400, onde a = -2, b = -24, c = 400 F(x) = x² - 9, onde a = 1, b = 0, c = -9 F(x) = -5x + 2x² -12, onde a = 2, b = -5, c = -12 Função quadrática.
F(x) = 3x² - 6x + 4 Pronto! A função já está na forma geral. a= 3 b= -6 c= 4 A função quadrática pode apresentar-se de forma “embaralhada”. Assim, teremos que aplicar algumas propriedades algébricas para colocá-la na forma geral que é ax² + bx + c. F(x) = 3( x² - 2x) + 4 Multiplicamos o 3 pelos termos de dentro dos parênteses e repetimos o 4 que está fora dos parênteses .
Gráfico de uma função quadrática. O gráfico de uma função quadrática f: R → R é sempre uma curva denominada: Parábola. A parábola pode ter a concavidade voltada para cima A parábola pode ter a concavidade voltada para baixo Nunca para os lados...
Construir o gráfico de uma função quadrática é molezinha! Ao invés de fazer aquela famosa tabelinha (que na maioria das vezes erramos demais nos sinais) podemos seguir 4 passos bem simples . Você está preparado para gravar os passos? Então vamos lá ... Como construir o gráfico de uma função quadrática ????? Vamos construir o gráfico da função f:R→R definida por f(x) = x2 - 2x - 3
1º PASSO) Observar e separar o coeficiente a, pois ele tem um papel muito importante: dizer se a parábola terá concavidade para cima ou para baixo. Se o coeficiente a for positivo, ou seja, maior que zero, a concavidade da parábola será para cima. Como? É simples!!! Se o coeficiente a for negativo, ou seja, menor que zero, a concavidade da parábola será para baixo
Como a nossa função é x² - 2x – 3, observamos que o coeficiente a é 1, ou seja, um número positivo, então já descobrimos que a nossa parábola terá a concavidade voltada para cima!!! Moleza! Faltam só mais 3 passos
2º PASSO) Observar e separar o coeficiente c, pois ele também tem um papel muito importante: dizer onde a parábola cortará o eixo y. y x Como a nossa função é x² - 2x – 3, sabemos que o coeficiente c é -3, então a parábola vai cortar o eixo y no -3. - 3 AQUI Vai ficar mais ou menos assim
3º PASSO) Agora que já sabemos onde a parábola vai cortar o eixo y, falta saber o que? Isso aí! Para saber onde a parábola cortará o eixo x, basta pegarmos a função (aquela: x² -2x -3, lembra?) e igualá-la a zero. Veja: x² - 2x - 3 = 0 Agora virou uma equação do 2º grau, daí é só resolver! A parábola cortará o eixo x no x’ e no x’’.
Vamos, então, resolver a equação x² - 2x - 3 = 0 ? a= 1 b= -2 c= -3 ∆ = b² - 4.a.c ∆ = (-2)² - 4.1.(-3) ∆ = +4 + 12 ∆ = 16 X = - b ± √ ∆ 2a X = +2 ± √ 16 2 . 1 X = +2 ± 4 2 x’ = 2+4 = 6 = 3 2 2 x’’ = 2 - 4= -2 = -1 2 2.
Como x’ é 3 e x’’ é -1, já sabemos que a parábola cortará o eixo x no 3 e no -1. Veja: - 3 - 1 3 y x AQUI AQUI Viva! O gráfico está quase pronto!!! Agora só falta o 4º passo
4º PASSO) Lá no passo 1, vimos que a concavidade da parábola ficará para cima, pois o coeficiente a é positivo. Mas temos que saber também o ponto exato(x,y) onde o vento faz a curva, ops, quer dizer, onde a PARÁBOLA vai fazer a curva! Esse ponto é chamado de vértice da função e ele é dado por duas fórmulas, a fórmula do x e a fórmula do y. Veja: - b , - ∆ 2a 4a x y
b , - ∆ 2a 4a Substituindo a fórmula do vértice, temos... a = 1 b = - 2 ∆ = 16 +2 , - 16 2.1 4.1 +2 , - 16 2 4 1 , - 4 Pronto! A parábola fará a curva no ponto (1 , - 4)
3 - 1 3 y x A parábola fará a curva AQUI 1 - 4
Fácil, né? Mas agora é hora de deixar de ser telespectador e colocar a mão na massa. Vamos praticar ??? Tem essas duas funcões f:R → R para você construir os gráficos, usando os 4 passos estudados na aula de hoje. F(x) = x² + 4x - 5 F(x) = - x² + 2x + 3
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Grupo:Chelsea
F(x) = 3x² - 6x + 4 Pronto! A função já está na forma geral. a= 3 b= -6 c= 4 A função quadrática pode apresentar-se de forma “embaralhada”. Assim, teremos que aplicar algumas propriedades algébricas para colocá-la na forma geral que é ax² + bx + c. F(x) = 3( x² - 2x) + 4 Multiplicamos o 3 pelos termos de dentro dos parênteses e repetimos o 4 que está fora dos parênteses .
Gráfico de uma função quadrática. O gráfico de uma função quadrática f: R → R é sempre uma curva denominada: Parábola. A parábola pode ter a concavidade voltada para cima A parábola pode ter a concavidade voltada para baixo Nunca para os lados...
Construir o gráfico de uma função quadrática é molezinha! Ao invés de fazer aquela famosa tabelinha (que na maioria das vezes erramos demais nos sinais) podemos seguir 4 passos bem simples . Você está preparado para gravar os passos? Então vamos lá ... Como construir o gráfico de uma função quadrática ????? Vamos construir o gráfico da função f:R→R definida por f(x) = x2 - 2x - 3
1º PASSO) Observar e separar o coeficiente a, pois ele tem um papel muito importante: dizer se a parábola terá concavidade para cima ou para baixo. Se o coeficiente a for positivo, ou seja, maior que zero, a concavidade da parábola será para cima. Como? É simples!!! Se o coeficiente a for negativo, ou seja, menor que zero, a concavidade da parábola será para baixo
Como a nossa função é x² - 2x – 3, observamos que o coeficiente a é 1, ou seja, um número positivo, então já descobrimos que a nossa parábola terá a concavidade voltada para cima!!! Moleza! Faltam só mais 3 passos
2º PASSO) Observar e separar o coeficiente c, pois ele também tem um papel muito importante: dizer onde a parábola cortará o eixo y. y x Como a nossa função é x² - 2x – 3, sabemos que o coeficiente c é -3, então a parábola vai cortar o eixo y no -3. - 3 AQUI Vai ficar mais ou menos assim
3º PASSO) Agora que já sabemos onde a parábola vai cortar o eixo y, falta saber o que? Isso aí! Para saber onde a parábola cortará o eixo x, basta pegarmos a função (aquela: x² -2x -3, lembra?) e igualá-la a zero. Veja: x² - 2x - 3 = 0 Agora virou uma equação do 2º grau, daí é só resolver! A parábola cortará o eixo x no x’ e no x’’.
Vamos, então, resolver a equação x² - 2x - 3 = 0 ? a= 1 b= -2 c= -3 ∆ = b² - 4.a.c ∆ = (-2)² - 4.1.(-3) ∆ = +4 + 12 ∆ = 16 X = - b ± √ ∆ 2a X = +2 ± √ 16 2 . 1 X = +2 ± 4 2 x’ = 2+4 = 6 = 3 2 2 x’’ = 2 - 4= -2 = -1 2 2.
Como x’ é 3 e x’’ é -1, já sabemos que a parábola cortará o eixo x no 3 e no -1. Veja: - 3 - 1 3 y x AQUI AQUI Viva! O gráfico está quase pronto!!! Agora só falta o 4º passo
4º PASSO) Lá no passo 1, vimos que a concavidade da parábola ficará para cima, pois o coeficiente a é positivo. Mas temos que saber também o ponto exato(x,y) onde o vento faz a curva, ops, quer dizer, onde a PARÁBOLA vai fazer a curva! Esse ponto é chamado de vértice da função e ele é dado por duas fórmulas, a fórmula do x e a fórmula do y. Veja: - b , - ∆ 2a 4a x y
b , - ∆ 2a 4a Substituindo a fórmula do vértice, temos... a = 1 b = - 2 ∆ = 16 +2 , - 16 2.1 4.1 +2 , - 16 2 4 1 , - 4 Pronto! A parábola fará a curva no ponto (1 , - 4)
3 - 1 3 y x A parábola fará a curva AQUI 1 - 4
Fácil, né? Mas agora é hora de deixar de ser telespectador e colocar a mão na massa. Vamos praticar ??? Tem essas duas funcões f:R → R para você construir os gráficos, usando os 4 passos estudados na aula de hoje. F(x) = x² + 4x - 5 F(x) = - x² + 2x + 3
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Grupo:Chelsea
Resolvendo a Equação Quadrática ou Função Quadrática?
Sei que a resolução da equação quadrática seria algo como:
ax² + bx + c = 0
a (x² + (b/a)x + c/a) = 0
x² + (b/a)x = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) - b²/4a² = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) = b²/4a² - c/a
onde x² + (b/a)x + b²/4a² == (x + b/2a)²
então...
(x + b/2a)² = b²/4a² - c/a
(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²
x + b/2a = (±√(b² - 4ac))/2a
x = (±√(b² - 4ac))/2a - b/2a
x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a
sendo ∆ = b² - 4ac
por fim... x = (-b ± √∆)/2a
Sendo as vertices dessa parabola V = ( -b/2a , -∆/4a)
Eis agora minha dúvida..
Na parte em que somamos e subtraimos b²/4a² .. daonde veio este termo? E por que exatamente b²/4a²? Esse termo têm algum significado específico (Tipo vertices ou outra coisa..)? E como chegaram a descobrir exatamente esse b²/4a² para a resolução da questão?
[2] Segundo Exercicio
Apartir do momento em que se chega a equação
x² + (b/a)x = -c/a
somamos e subtraimos b²/4a², o que na prática não altera o sentido da equação.
O termo b²/4a² foi utilizado em razão de tornar a expressão
x² + (b/a)x + b²/4a² um trinômio quadrado perfeito (o mesmo dos produtos notáveis), observe que:
x² + (b/a)x + b²/4a² = (x + b/2a)²
Portanto, o termo b²/4a² não tem nenhum significado específico.
Você compreenderia melhor caso o seu professor mostrasse como se resolve equação do 2° grau sem a fórmula de Báskara.
Ex:
Resolver a equação
x² - 6x +5 = 0 (i)
observe que x² - 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito, pois
x² - 6x + 9 = (x - 3)².
Logo se somamos e subtrairmos 9 a equação (i), que na prática a soma é nula, resultará:
x² - 6x + (9 - 9) + 5 = 0
x² - 6x + 9 - 9 + 5 = 0
x² - 6x + 9 - 4 = 0, como x² - 6x + 9 = (x - 3)², então:
(x - 3)² - 4 = 0, isolando o 4 no 2° membro, fica:
(x - 3)² = 4 (ii)
Antes de resolvermos a equação, observe a resolução da equação incompleta abaixo:
x² = 16 ⇔ x = ±√16 = ± 4
Voltando a equação (ii):
(x - 3) = ±√4
x - 3 = ±2
logo:
x - 3 = 2 (a) ou x - 3 = -2 (b)
de (a), fica:
x - 3 = 2
x = 5
de (b), fica:
x - 3 = -2
x = 1
x = 5 ou x = 1
Verifique as raízes utilizando o delta.
O mesmo artifício que usei para resolver a equação acima foi utilizado para demonstrar a fórmula de Báskara.
Sua dúvida foi brilhante, pois há muitos alunos que não atentam para esses detalhes tão importantes! Continue estudando.
[ 3] Exercicio
a função quadrática é uma função de segundo grau, ou seja, ax^2 + bx +c =0, com lei de formação (x -x´)(x-x´´) onde x´e x´´ são as raízes da equação do segundo grau e este produto sendo x^2 - sx + p = 0
s = x´+ x´´
p = x´* x´
Exemplo:
x^2 - 5x + 4 = 0
para resolver esta equação utiliza-se da fórmula de Bhaskara
x =[ 5 + ou - sqrt (5*5 - 4*1*4)] / 2
x = [5 + ou - sqrt 9]/ 2
x = [5 + ou - 3]/ 2
x ´= [5 + 3]/ 2 ==>x´= 8/2 = 4
x ´´= [5 - 3]/ 2 ==> x´´ ==> 2/2 ==> 1
[4] Eercicio
A função quadrática f:R->R é definida por
f(x)=ax²+bx+c
onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão
a x² + b x + c = 0
representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.
Aplicações práticas das parábolas
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:
Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.
[THALITA ] Grupo Operação de Etudos
ax² + bx + c = 0
a (x² + (b/a)x + c/a) = 0
x² + (b/a)x = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) - b²/4a² = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) = b²/4a² - c/a
onde x² + (b/a)x + b²/4a² == (x + b/2a)²
então...
(x + b/2a)² = b²/4a² - c/a
(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²
x + b/2a = (±√(b² - 4ac))/2a
x = (±√(b² - 4ac))/2a - b/2a
x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a
sendo ∆ = b² - 4ac
por fim... x = (-b ± √∆)/2a
Sendo as vertices dessa parabola V = ( -b/2a , -∆/4a)
Eis agora minha dúvida..
Na parte em que somamos e subtraimos b²/4a² .. daonde veio este termo? E por que exatamente b²/4a²? Esse termo têm algum significado específico (Tipo vertices ou outra coisa..)? E como chegaram a descobrir exatamente esse b²/4a² para a resolução da questão?
[2] Segundo Exercicio
Apartir do momento em que se chega a equação
x² + (b/a)x = -c/a
somamos e subtraimos b²/4a², o que na prática não altera o sentido da equação.
O termo b²/4a² foi utilizado em razão de tornar a expressão
x² + (b/a)x + b²/4a² um trinômio quadrado perfeito (o mesmo dos produtos notáveis), observe que:
x² + (b/a)x + b²/4a² = (x + b/2a)²
Portanto, o termo b²/4a² não tem nenhum significado específico.
Você compreenderia melhor caso o seu professor mostrasse como se resolve equação do 2° grau sem a fórmula de Báskara.
Ex:
Resolver a equação
x² - 6x +5 = 0 (i)
observe que x² - 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito, pois
x² - 6x + 9 = (x - 3)².
Logo se somamos e subtrairmos 9 a equação (i), que na prática a soma é nula, resultará:
x² - 6x + (9 - 9) + 5 = 0
x² - 6x + 9 - 9 + 5 = 0
x² - 6x + 9 - 4 = 0, como x² - 6x + 9 = (x - 3)², então:
(x - 3)² - 4 = 0, isolando o 4 no 2° membro, fica:
(x - 3)² = 4 (ii)
Antes de resolvermos a equação, observe a resolução da equação incompleta abaixo:
x² = 16 ⇔ x = ±√16 = ± 4
Voltando a equação (ii):
(x - 3) = ±√4
x - 3 = ±2
logo:
x - 3 = 2 (a) ou x - 3 = -2 (b)
de (a), fica:
x - 3 = 2
x = 5
de (b), fica:
x - 3 = -2
x = 1
x = 5 ou x = 1
Verifique as raízes utilizando o delta.
O mesmo artifício que usei para resolver a equação acima foi utilizado para demonstrar a fórmula de Báskara.
Sua dúvida foi brilhante, pois há muitos alunos que não atentam para esses detalhes tão importantes! Continue estudando.
[ 3] Exercicio
a função quadrática é uma função de segundo grau, ou seja, ax^2 + bx +c =0, com lei de formação (x -x´)(x-x´´) onde x´e x´´ são as raízes da equação do segundo grau e este produto sendo x^2 - sx + p = 0
s = x´+ x´´
p = x´* x´
Exemplo:
x^2 - 5x + 4 = 0
para resolver esta equação utiliza-se da fórmula de Bhaskara
x =[ 5 + ou - sqrt (5*5 - 4*1*4)] / 2
x = [5 + ou - sqrt 9]/ 2
x = [5 + ou - 3]/ 2
x ´= [5 + 3]/ 2 ==>x´= 8/2 = 4
x ´´= [5 - 3]/ 2 ==> x´´ ==> 2/2 ==> 1
[4] Eercicio
A função quadrática f:R->R é definida por
f(x)=ax²+bx+c
onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão
a x² + b x + c = 0
representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.
Aplicações práticas das parábolas
Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:
Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.
[THALITA ] Grupo Operação de Etudos
Função do 2º grau
A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e
Exemplos:
a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )
b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )
c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )
Gráfico de uma função do 2º grau:
Exemplo:
Construa o gráfico da função y=x²:
[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.
Coordenadas do vértice
A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .
Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3
Temos: a=1, b=-4 e c=3
Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?
Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.
Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola
y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.
y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1
Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)
Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!
Raízes (ou zeros) da função do 2º grau
Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.
Thalita GRupo Operação de estudos
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Grupo:Chelsea
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