segunda-feira, 20 de setembro de 2010

Aqui veremos a classificação das funções, a resolução, as propriedades, os coeficientes e raízes, resolução de equações fracionárias de 2° grau, resolução de equações literais do 2° grau e resolução das equações biquadradas.

http://www.exatas.mat.br/equacao2.htm

Grupo descobrindo a Matemática (Tainá Coutinho)

Função Quadrática - Parábolas

Esse site aqui fala sobre as parábolas das funções : http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm28/func/quapar.htm

Grupo Descobrindo a Matemática (Tainá Coutinho)

Funçao Quadratica

Função quadrática é toda função definida por f(x) = ax² + bx + c, onde os coeficientes a, b e c são números reais e a ≠ 0. Exemplos: F(x) = -2x² -24x + 400, onde a = -2, b = -24, c = 400 F(x) = x² - 9, onde a = 1, b = 0, c = -9 F(x) = -5x + 2x² -12, onde a = 2, b = -5, c = -12 Função quadrática.


F(x) = 3x² - 6x + 4 Pronto! A função já está na forma geral. a= 3 b= -6 c= 4 A função quadrática pode apresentar-se de forma “embaralhada”. Assim, teremos que aplicar algumas propriedades algébricas para colocá-la na forma geral que é ax² + bx + c. F(x) = 3( x² - 2x) + 4 Multiplicamos o 3 pelos termos de dentro dos parênteses e repetimos o 4 que está fora dos parênteses .

Gráfico de uma função quadrática. O gráfico de uma função quadrática f: R → R é sempre uma curva denominada: Parábola. A parábola pode ter a concavidade voltada para cima A parábola pode ter a concavidade voltada para baixo Nunca para os lados...


Construir o gráfico de uma função quadrática é molezinha! Ao invés de fazer aquela famosa tabelinha (que na maioria das vezes erramos demais nos sinais) podemos seguir 4 passos bem simples . Você está preparado para gravar os passos? Então vamos lá ... Como construir o gráfico de uma função quadrática ????? Vamos construir o gráfico da função f:R→R definida por f(x) = x2 - 2x - 3


1º PASSO) Observar e separar o coeficiente a, pois ele tem um papel muito importante: dizer se a parábola terá concavidade para cima ou para baixo. Se o coeficiente a for positivo, ou seja, maior que zero, a concavidade da parábola será para cima. Como? É simples!!! Se o coeficiente a for negativo, ou seja, menor que zero, a concavidade da parábola será para baixo

Como a nossa função é x² - 2x – 3, observamos que o coeficiente a é 1, ou seja, um número positivo, então já descobrimos que a nossa parábola terá a concavidade voltada para cima!!! Moleza! Faltam só mais 3 passos

2º PASSO) Observar e separar o coeficiente c, pois ele também tem um papel muito importante: dizer onde a parábola cortará o eixo y. y x Como a nossa função é x² - 2x – 3, sabemos que o coeficiente c é -3, então a parábola vai cortar o eixo y no -3. - 3 AQUI Vai ficar mais ou menos assim



3º PASSO) Agora que já sabemos onde a parábola vai cortar o eixo y, falta saber o que? Isso aí! Para saber onde a parábola cortará o eixo x, basta pegarmos a função (aquela: x² -2x -3, lembra?) e igualá-la a zero. Veja: x² - 2x - 3 = 0 Agora virou uma equação do 2º grau, daí é só resolver! A parábola cortará o eixo x no x’ e no x’’.


Vamos, então, resolver a equação x² - 2x - 3 = 0 ? a= 1 b= -2 c= -3 ∆ = b² - 4.a.c ∆ = (-2)² - 4.1.(-3) ∆ = +4 + 12 ∆ = 16 X = - b ± √ ∆ 2a X = +2 ± √ 16 2 . 1 X = +2 ± 4 2 x’ = 2+4 = 6 = 3 2 2 x’’ = 2 - 4= -2 = -1 2 2.

Como x’ é 3 e x’’ é -1, já sabemos que a parábola cortará o eixo x no 3 e no -1. Veja: - 3 - 1 3 y x AQUI AQUI Viva! O gráfico está quase pronto!!! Agora só falta o 4º passo


4º PASSO) Lá no passo 1, vimos que a concavidade da parábola ficará para cima, pois o coeficiente a é positivo. Mas temos que saber também o ponto exato(x,y) onde o vento faz a curva, ops, quer dizer, onde a PARÁBOLA vai fazer a curva! Esse ponto é chamado de vértice da função e ele é dado por duas fórmulas, a fórmula do x e a fórmula do y. Veja: - b , - ∆ 2a 4a x y

b , - ∆ 2a 4a Substituindo a fórmula do vértice, temos... a = 1 b = - 2 ∆ = 16 +2 , - 16 2.1 4.1 +2 , - 16 2 4 1 , - 4 Pronto! A parábola fará a curva no ponto (1 , - 4)



3 - 1 3 y x A parábola fará a curva AQUI 1 - 4



Fácil, né? Mas agora é hora de deixar de ser telespectador e colocar a mão na massa. Vamos praticar ??? Tem essas duas funcões f:R → R para você construir os gráficos, usando os 4 passos estudados na aula de hoje. F(x) = x² + 4x - 5 F(x) = - x² + 2x + 3

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Grupo:Chelsea

Resolvendo a Equação Quadrática ou Função Quadrática?

Sei que a resolução da equação quadrática seria algo como:
ax² + bx + c = 0
a (x² + (b/a)x + c/a) = 0
x² + (b/a)x = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) - b²/4a² = -c/a
(x² + (b/a)x + b²/4a²) = b²/4a² - c/a
onde x² + (b/a)x + b²/4a² == (x + b/2a)²
então...

(x + b/2a)² = b²/4a² - c/a
(x + b/2a)² = (b² - 4ac)/4a²
x + b/2a = (±√(b² - 4ac))/2a
x = (±√(b² - 4ac))/2a - b/2a


x = (-b ± √(b² - 4ac))/2a
sendo ∆ = b² - 4ac
por fim... x = (-b ± √∆)/2a


Sendo as vertices dessa parabola V = ( -b/2a , -∆/4a)
Eis agora minha dúvida..

Na parte em que somamos e subtraimos b²/4a² .. daonde veio este termo? E por que exatamente b²/4a²? Esse termo têm algum significado específico (Tipo vertices ou outra coisa..)? E como chegaram a descobrir exatamente esse b²/4a² para a resolução da questão?

[2] Segundo Exercicio
 
 
 
Apartir do momento em que se chega a equação


x² + (b/a)x = -c/a

somamos e subtraimos b²/4a², o que na prática não altera o sentido da equação.
O termo b²/4a² foi utilizado em razão de tornar a expressão

x² + (b/a)x + b²/4a² um trinômio quadrado perfeito (o mesmo dos produtos notáveis), observe que:


x² + (b/a)x + b²/4a² = (x + b/2a)²

Portanto, o termo b²/4a² não tem nenhum significado específico.
Você compreenderia melhor caso o seu professor mostrasse como se resolve equação do 2° grau sem a fórmula de Báskara.
Ex:

Resolver a equação
x² - 6x +5 = 0 (i)
observe que x² - 6x + 9 é um trinômio quadrado perfeito, pois

x² - 6x + 9 = (x - 3)².

Logo se somamos e subtrairmos 9 a equação (i), que na prática a soma é nula, resultará:
x² - 6x + (9 - 9) + 5 = 0
x² - 6x + 9 - 9 + 5 = 0

x² - 6x + 9 - 4 = 0, como x² - 6x + 9 = (x - 3)², então:


(x - 3)² - 4 = 0, isolando o 4 no 2° membro, fica:


(x - 3)² = 4 (ii)


Antes de resolvermos a equação, observe a resolução da equação incompleta abaixo:


x² = 16 ⇔ x = ±√16 = ± 4


Voltando a equação (ii):
(x - 3) = ±√4


x - 3 = ±2


logo:


x - 3 = 2 (a) ou x - 3 = -2 (b)


de (a), fica:


x - 3 = 2

x = 5


de (b), fica:


x - 3 = -2
x = 1

x = 5 ou x = 1

Verifique as raízes utilizando o delta.

O mesmo artifício que usei para resolver a equação acima foi utilizado para demonstrar a fórmula de Báskara.

Sua dúvida foi brilhante, pois há muitos alunos que não atentam para esses detalhes tão importantes! Continue estudando.


 
 
 
 
 
 
[  3] Exercicio 
          a função quadrática é uma função de segundo grau, ou seja, ax^2 + bx +c =0, com lei de formação (x -x´)(x-x´´) onde x´e x´´ são as raízes da equação do segundo grau e este produto sendo x^2 - sx + p = 0


s = x´+ x´´

p = x´* x´



Exemplo:



x^2 - 5x + 4 = 0

para resolver esta equação utiliza-se da fórmula de Bhaskara



x =[ 5 + ou - sqrt (5*5 - 4*1*4)] / 2

x = [5 + ou - sqrt 9]/ 2

x = [5 + ou - 3]/ 2

x ´= [5 + 3]/ 2 ==>x´= 8/2 = 4

x ´´= [5 - 3]/ 2 ==> x´´ ==> 2/2 ==> 1

[4] Eercicio
A função quadrática f:R->R é definida por
f(x)=ax²+bx+c


onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão


a x² + b x + c = 0


representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.


Aplicações práticas das parábolas

Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:


Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.

 [THALITA ]   Grupo Operação de Etudos

Função do 2º grau

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:
y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e

Exemplos:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )


b) y=x² ( a=1; b=0; c=0 )


c) y=x²-4 ( a=1; b=0; c=-4 )


Gráfico de uma função do 2º grau:


Exemplo:


Construa o gráfico da função y=x²:

[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores correspondentes para y.






Coordenadas do vértice




A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .



Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3



Temos: a=1, b=-4 e c=3







Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?



Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y.



Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola

y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.



y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1



Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)



Portanto, para determinarmos as coordenadas do vértice de uma parábola, achamos o valor da coordenada x (através de x=-b/2a) e substituindo este valor na função, achamos a coordenada y!!!



Raízes (ou zeros) da função do 2º grau



Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.









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Vidio Ensinando função quaratica !

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