CLUBE VIRTUAL 1004: Função Quadratica

Função Quadrática

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são números reais e a

0.
Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x² - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1
f(x) = x² -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1
f(x) = 2x² + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5
f(x) = - x² + 8x, onde a = 1, b = 8 e c = 0
f(x) = -4x², onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax² + bx + c, com a

0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x² + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x	y
-3	6
-2	2
-1	0

0	0
1	2
2	6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax² + bx + c, notaremos sempre que:

se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima;
se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo;

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax² + bx + c , a

0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax² + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando

, chamado discriminante, a saber:

quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;
quando é zero, há só uma raiz real;
quando é negativo, não há raiz real.
Raízes
As duas raízes da equação quadrática $0=ax^2+bx+c\,\!$ , onde $a \ne 0 \,\!$ são
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.$
Essa fórmula é chamada de Fórmula de Bhaskara.
- Dado $\Delta = b^2-4ac \,$
- Se $\Delta > 0\,\!$ , então existem duas raízes distintas uma vez que $\sqrt{\Delta}$ é um número real positivo.
- Se $\Delta = 0\,\!$ , então as duas raízes são iguais, uma vez que $\sqrt{\Delta}$ é igual a zero.
- Se $\Delta < 0\,\!$ , então as duas raízes são números complexos conjugados, uma vez que $\sqrt{\Delta}$ é imaginário.
Efetuando $r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ e $r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}$ ou vice versa, é possível fatorar $a x^2 + b x + c \,\!$ como $a(x - r_1)(x - r_2)\,\!$ .

Formas da função quadrática
Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:
- $f(x) = a x^2 + b x + c \,\!$ é chamada a forma geral ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
- $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,\!$ é chamada a forma fatorada, onde $r 1$ e $r 2$ são as raízes da equação quadrática, e
- $f(x) = a(x - h)^2 + k \,\!$ é chamada a forma padrão ou forma vértice (também chamada de forma canônica).
Para converter a forma geral para a forma fatorada, é necessário usar a fórmula quadrática e encontrar as raízes $r 1$ and $r 2$ . Para converter a forma geral para a forma padrão é necessário usar o processo de completar o quadrado. Para converter a forma fatorada (ou padrão) para a forma geral, é necessário multiplicar, expandir e/ou distribuir os fatores.

Gráfico

$f(x) = ax^2 + x ,\!$ $a=\{0.1,0.3,1,3\}\!$

$f(x) = x^2 + bx,\!$ $b=\{1,2,3,4\}\!$

$f(x) = x^2 + bx,\!$ $b=\{-1,-2,-3,-4\}\!$
Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola (como mostrado abaixo).
- Se $a > 0 \,\!$ , a parábola abre para cima.
- Se $a < 0 \,\!$ , a parábola abre para baixo.
O coeficiente a controla a velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice. Números positivos grandes para afazem a imagem de x aumentar mais rápido, fazendo com que a parábola fique mais fechada, mais "magra".
O coeficiente b e a, juntos, controlam o eixo de simetria da parábola (e também a coordenada do x do vértice).
O coeficiente b sozinho é a declividade da parábola ao cortar o eixo y.
O coeficiente c controla a altura da parábola, mais especificamente, é o ponto onde a parábola corta o eixo y.

Vértice
O vértice de uma parábola é o número crítico da função quadrática - o ponto onde ela vira, também chamado de turning point. Se a função estiver na forma padrão, o vértice é dado por $(h, k)\,\!$ . Pelo método de completar o quadrado transforma-se a forma geral: $f(x) = a x^2 + b x + c \,\!$
em
$f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4 a} ,$
de forma que o vértice da parábola na forma geral seja
$\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right).$
Se a função quadrática estiver na forma fatorada $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!$
a média aritmética da duas raízes, i.e.,
$\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!$
fornece a coordenada x do vértice, e assim o vértice é dado por
$\left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right).\!$
O vértice é também o ponto máximo se $a < 0 \,\!$ ou o ponto mínimo se $a > 0 \,\!$ .
A linha vertical
$x=h=-\frac{b}{2a}$
que passa pelo vértice é chamada de eixo de simetria da parábola.
- Pontos de máximo/mínimo
O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. O seguinte método se baseia na mesma idéia fazendo uso do cálculo. A vantagem desse método é que ele funciona para funções mais gerais.
Tomando $f(x) = ax^2 + bx + c \,\!$ como um exemplo de equação quadrática para achar seus pontos extremos (que dependem de $a \,\!$ , se $a > 0 \,\!$ , tem um ponto mínimo, se $a < 0\,\!$ , tem um ponto máximo) é necessário antes encontrar sua derivada:

$f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\!$ $f'(x)=2ax+b \,\!$
Depois, encontramos as raízes de $f'(x)\,\!$ :

$2ax+b=0 \Rightarrow \,\!$ $2ax=-b \Rightarrow\,\!$ $x=-\frac{b}{2a}$
Então, $-\frac{b} {2a}$ é o $x\,\!$ valor de $f(x)\,\!$ . Agora, para encontrar o valor de $y\,\!$ , substituimos $x = -\frac{b} {2a}$ em $f(x)\,\!$ :

$y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow$
$y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}$
Assim, as coordenadas do ponto mínimo/máximo são:

$\left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right).$

Estudo dos Sinais

Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de $x$
O estudo dos sinais da função quadrática define os sinais da função para qualquer valor de $x$ . O estudo depende do sinal do coeficiente $a$ e do $Δ$ . Ele é obtido analisando o esboço do gráfico da concavidade da função.
- 1º Caso: $Δ < 0$
Neste caso, a parábola da função não corta o eixo das absissas. Portanto:
$a > 0 \rightarrow f(x) > 0, \forall x \in R$
$a < 0 \rightarrow f(x) < 0, \forall x \in R$

- 2º Caso: $Δ = 0$

Exemplo de uma função negativa para $x \ne r_1 = r_2$ e nula para $x = r 1 = r 2$
Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em apenas um ponto. Tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente $a$ e das raízes $r 1$ e $r 2$ (note que $r 1 < r 2$ ):
- $a > 0$
$f(x) > 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2$
$f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2$
- $a < 0$
$f(x) < 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2$
$f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2$

- 3º Caso: $Δ > 0$

Exemplo de uma função positiva para $x < r 1$ ou $x > r 2$ ; nula para $x = r 1 = r 2$ e negativa para $r 1 < x < r 2$ .
Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em dois pontos. Novamente, tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente $a$ (note novamente que $r 1 < r 2$ ):
- $a > 0$
$f(x) > 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2$
$f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2$
$f(x) < 0 \rightarrow r_1 < x < r_2$
- $a < 0$
$f(x) > 0 \rightarrow r_1 < x < r_2$
$f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2$
$f(x) < 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2$

Raiz quadrada de uma função quadrática
A raiz quadrada de uma função quadrática faz surgir ou uma elipse ou uma hipérbole. Se $a>0\,\!$ então a equação $y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c}$ descreve uma hipérbole. O eixo da hipérbole é determinado pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente $y_p = a x^2 + b x + c \,\!$
Se a ordenada for negativa, então o eixo da hipérbole é horizontal. Se ordenada for positiva, então o eixo da hipérbole é vertical.
Se $a<0\,\!$ então a equação $y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c}$ descreve ou uma elipse ou absolutamente nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente $y_p = a x^2 + b x + c \,\!$ for positiva, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas a ordenada for negativa ela descreve um conjunto vazio de pontos.

Função quadrática bivariada
Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma
$f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!$
Tal função descreve uma superfície quadrática. Fazendo $f(x,y)\,\!$ igual a zero, é descrita a intersecção da superfície com o plano $z=0\,\!$ , que é um locus de pontos equivalente a umasecção cônica.

Mínimo/máximo
Se $4AB-E^2 <0 \,$ a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.
Se $4AB-E^2 >0 \,$ a função possui um mínimo se A>0, e um máximo se A<0 e seu gráfico forma um parabolóide elíptico.
O mínimo ou máximo de uma função quadrática bivariada é obtido através de $(x_m, y_m) \,$ onde:
$x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}$
$y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}$
Se $4AB- E^2 =0 \,$ e $DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \,$ a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um cilindro parabólico.
Se $4AB- E^2 =0 \,$ e $DE-2CB=2AD-CE =0 \,$ a função alcança o mínimo/máximo em uma linha. Similarmente, um mínimo se A>0 e um máximo se A<0, e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

(João vitor) [Bonde Do Estudo](Augusto,Erika M,Jessica,João vitor,Luiz felipe,Wallace e Willian]