Formas geométricas no cotidiano

Toda função estabelecida pela lei de formação f(x) = ax² + bx + c, com a, b e c números reais e a ≠ 0, é denominada função do 2º grau. Generalizando temos: 

As funções do 2º grau possuem diversas aplicações no cotidiano, principalmente em situações relacionadas à Física envolvendo movimento uniformemente variado, lançamento oblíquo e etc.; na Biologia, estudando o processo de fotossíntese das plantas; na Administração e Contabilidade relacionando as funções custo, receita e lucro; e na Engenharia Civil presente nas diversas construções. 

A representação geométrica de uma função do 2º grau é dada por uma parábola, que de acordo com o sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo. 

As raízes de uma função do 2º grau são os pontos onde a parábola intercepta o eixo x. Dada a função f(x) = ax² + bx + c, se f(x) = 0, obtemos uma equação do 2º grau, ax² + bx + c = 0, dependendo do valor do discriminante ∆(delta), podemos ter as seguintes situações gráficas: 
∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes. A parábola intercepta o eixo x em dois pontos distintos. 

∆ = 0, a equação possui apenas uma raiz real. A parábola intercepta o eixo x em um único ponto. 

∆ < 0, a equação não possui raízes reais. A parábola não intercepta o eixo x. 

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Bruno Hiago

A função quadrática (Parábola)

A função quadrática f:R->R é definida por f(x)=ax²+bx+c onde a, b e c são constantes reais, sendo que Dom(f)=R, Im(f)=R. Esta função também é denominada função trinômia do segundo grau, uma vez que a expressão a x² + b x + c = 0 representa uma equação trinômia do segundo grau ou simplesmente uma equação do segundo grau. O gráfico cartesiano desta função polinomial do segundo grau é uma curva plana denominada parábola.

Aplicações práticas das parábolas

Dentre as dezenas de aplicações da parábola a situações da vida, as mais importantes são:

Faróis de carros: Se colocarmos uma lâmpada no foco de um espelho com a superfície parabólica e esta lâmpada emitir um conjunto de raios luminosos que venham a refletir sobre o espelho parabólico do farol, os raios refletidos sairão todos paralelamente ao eixo que contem o "foco" e o vértice da superfície parabólica. Esta é uma propriedade geométrica importante ligada à Ótica, que permite valorizar bastante o conceito de parábola no âmbito do Ensino Fundamental.

Antenas parabólicas: Se um satélite artificial colocado em uma órbita geoestacionária emite um conjunto de ondas eletromagnéticas, estas poderão ser captadas pela sua antena parabólica , uma vez que o feixe de raios atingirá a sua antena que tem formato parabólico e ocorrerá a reflexão desses raios exatamente para um único lugar, denominado o foco da parábola, onde estará um aparelho de receptor que converterá as ondas eletromagnéticas em um sinal que a sua TV poderá transformar em ondas que por sua vez significarão filmes, jornais e outros programas que você assiste normalmente.

Radares: Os radares usam as propriedades óticas da parábola, similares às citadas anteriormente para a antena parabólica e para os faróis.

Lançamentos de projéteis: Ao lançar um objeto no espaço (dardo, pedra, tiro de canhão) visando alcançar a maior distância possível tanto na horizontal como na vertical, a curva descrita pelo objeto é aproximadamente uma parábola, se considerarmos que a resistência do ar não existe ou é pequena.

Sob estas circunstâncias o ângulo de maior alcance horizontal é de 45 graus.

O sinal do coeficiente do termo dominante

O sinal do coeficiente do termo dominante desta função polinomial indica a concavidade da parábola ("boca aberta"). Se a>0 então a concavidade estará voltada para cima e se a<0 estará voltada para baixo.

Exemplo: A parábola, que é o gráfico da função f(x)=x²+2x-3, pode ser vista no desenho.

O modo de construir esta parábola é atribuir valores para x e obter os respectivos valores para f(x). A tabela a seguir mostra alguns pares ordenados de pontos do plano cartesiano onde a curva deverá passar:

x	-3	-2	-1	0	1	2
f(x)	0	-3	-4	-3	0	5

Como a>0, a concavidade ("boca") da nossa parábola estará voltada para cima.

Exemplo: Construir a parábola f(x)=-x²+2x-3.

Este exemplo é análogo ao anterior, só que nesse caso, a<0, logo sua concavidade será voltada para baixo. A diferença entre esta parábola e a do exemplo anterior é que, houve a mudança do sinal do coeficiente do termo dominante. A construção da tabela nos dá:

x	-1	0	1	2	3
f(x)	-6	-3	-2	-3	-6

Relacionamento entre o discriminante e a concavidade

Podemos construir uma tabela que relaciona o sinal do discriminante com o sinal do coeficiente do termo dominante da função polinomial.

Delta	A parábola no plano cartesiano	a>0 concavidade (boca) para cima	a<0 concavidade (boca) para baixo
D > 0	Corta o eixo horizontal em 2 pontos
D = 0	Toca em 1 ponto do eixo horizontal
D < 0	Não corta o eixo horizontal

Máximos e mínimos com funções quadráticas

Existem muitas aplicações para a função quadrática e uma delas está relacionada com a questão de máximos e mínimos.

Exemplo: Determinar o retângulo de maior área que é possível construir se o seu perímetro mede 36 m.Solução: Se x é a medida do comprimento e y é a medida da largura, a área será dada por: A(x,y)=xy, mas acontece que 2x+2y=36 ou seja x+y=18, assim: A(x) = x(18-x)

Esta parábola corta o eixo OX nos pontos x=0 e x=18 e o ponto de máximo dessa curva ocorre no ponto médio entre x=0 e x=18, logo, o ponto de máximo desta curva ocorre em x=9. Observamos que este não é um retângulo qualquer mas é um quadrado pois x=y=9 e a área máxima será A=81m²

Postado por Grupo Evolução! - 

Bruno Hiago

Funções.

O que é função?  aqui tem explica e tem alguns exemplos que poderão ajudar ;)

Site: http://www.qfojo.net/funcoes/funcoes.html

Exercícios de Equações de 2º Grau

) Identifique os coeficientes de cada equação e diga se ela é completa ou não:
a) 5x² - 3x - 2 = 0
b) 3x²  + 55 = 0
c) x² - 6x = 0
d) x² - 10x + 25 = 0


2) Achar as raízes das equações:
a) x² - x - 20 = 0
b) x² - 3x -4 = 0
c) x² - 8x + 7 = 0


3) Dentre os números -2, 0, 1, 4, quais deles são raízes da equação x²-2x-8= 0? 


4) O número -3 é a raíz da equação x² - 7x - 2c = 0. Nessas condições, determine o valor do coeficiente c:


5) Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, você vai obter o quíntuplo do número x. Qual é esse número?

                                          Resposta
 1-
Resposta a:
a = 5 ; b = -3 ; c = -2
Equação completa
Resposta b:
a = 3 ; b = 0 ; c = 55
Equação incompleta
Resposta c:
a = 1 ; b = -6 ; c = 0
Equação incompleta
Resposta d:
a = 1 ; b = -10 ; c = 25
Equação completa
2-

Resposta a:

(1 ) / 2=  (1 9) / 2
1+9 / 2 = 5
1-9 / 2 = - 4
x' = 5 e x'' = -4

Resposta b:

(3 ) / 2 = (3 5) / 2
3 + 5 / 2 = 4
3 - 5 / 2 = -1
x' = 4 e x'' = -1
Resposta c:

(8 ) / 2 = (8 6) / 2
8 + 6 / 2 = 7
2 / 2 = 1
x' = 7 e x'' = 1
3-Sabemos que são duas as raízes, agora basta testarmos.
(-2)² - 2*(-2) - 8 = 0 (-2)² + 4 - 8 4 + 4 - 8 = 0 (achamos uma das raízes)
0² - 2*0 - 8 = 0 0 - 0 - 8 0
1² - 2*1 - 8 = 0 1 - 2 - 8 0
4² - 2*4 - 8 = 0 16 - 8 - 8 = 0 (achamos a outra raíz)


4-
 
(-3)² - 7*(-3) - 2c = 0
9 +21 - 2c = 0
30 = 2c

5-
 
x²-14 = 5x
x² - 5x -14 = 0

(5 ) / 2 = (5 9) / 2
5 + 9 / 2 = 14/2 = 7
5 - 9 / 2 = -2
x = 7 ou -2
c = 15

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Grupo:Chelsea

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Grupo:Chelsea

Funçao Quadratica

O que o aluno poderá aprender com esta aula

Aprender noções básicas sobre a função quadrática, produzir um gráfico dessa função, assim como suas aplicações.

Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

Plano cartesiano e suas coordenadas. Potenciação.

Estratégias e recursos da aula

O trabalho com funções é desafiador para alunos e professores. São necessárias operações variadas, produção e análise de gráficos e também o estudo de suas aplicações. O objetivo dessa aula é criar condições para que o aluno trabalhe com a função quadrática e atinja um nível de entendimento adequado. Para isso usaremos um objeto de aprendizagem que apresenta uma aplicação prática e mostraremos como podem ser criados gráficos dessa importante função

Trajetória descrita por uma bola que pode ser considerada parte de uma função quadrática.

Definição de Função Quadrática
Uma função quadrática ou do 2º grau é aquela cujo o gráfico é uma parábola. Essa função é representada por  f(x)= ax2 + bx + c, sendo a, b e c números reais.

Alguns exemplos de função quadrática:

f(x) = x ²- 2x + 1
f(x) = x²

Aproveite para lembrar os alunos de alguns conceitos de potenciação, especialmente no que diz respeito ao quadrado de um número. Um bom começo para envolver os alunos no trabalho com a função quadrática é usando a função f(x) = x² . Pode-se construir um gráfico dessa função com os alunos, abordando sobre o quadrado de alguns números positivos e negativos e marcando pontos em um plano cartesiano para formar uma parábola, como a apresentada abaixo. Essa atividade cria boas condições para que ocorra um melhor entendimento do conteúdo.

Gráfico da função f(x) = x² .

É importante criar uma tabela com alguns valores de x e determinar os valores de y com os alunos, marcando os pontos no plano.

X	Y
-4	16
-2	4
0	0
2	4
4	16

Aplicações da Função Quadrática
Existem objetos de aprendizagem que contribuem muito para que os alunos aprendam a relacionar variáveis em uma função, realizar experimentos, alterar valores e verificar relações de causa e efeito. Eis o objeto recomendado para a atividade usando computadores na escola:

Movimento de Projétil

Recurso disponível em http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/recursos/11673/projectile-motion_en.jar
No simulador, os alunos podem modificar a massa e diâmetro dos projéteis, sua velocidade inicial, o ângulo de lançamento e até mesmo o efeito da resistência do ar. Além disso, é possível brincar de atingir o alvo marcado no chão. Para tirar o máximo de proveito dessa atividade o professor deve realizar perguntas aos alunos no que diz respeito às alterações nas variáveis, como por exemplo pedir que eles variem apenas a massa do projétil e que observem o que acontece com o tempo e a distância. É importante estimular os alunos a estabelecerem e anotarem as relações percebidas e por fim, desafiá-los com relação a função quadrática que relaciona a distância do lançamento com o quadrado da variável tempo.
Produzindo Gráficos com uma Planilha Eletrônica
O alunos podem trabalhar no seu próprio gráfico da função quadrática utilizando uma planilha eletrônica como o BrOffice (http://www.broffice.org/ ).
O primeiro passo é criar uma pequena tabela de valores de x e y.
Na coluna dos valores de x, basta digitar alguns valores que formarão os pontos do gráfico e permitirão a construção da curva.
Na coluna de valores de y, digitamos uma função quadrática na célula correspondente ao menor valor de x. Como exemplo, usaremos a função y = x² - 8x + 12. Observe a imagem abaixo.

Tabela com dados da função quadrática.

Observe que a função y = x²- 8x + 12 é escrita na célula A2 da seguinte forma: =POTÊNCIA(A2;2)-8*A2+12 . A2 corresponde ao valor de x e, entre parênteses é acompanhado do número 2, indicando que o valor do x é elevado ao quadrado. POTÊNCIA é uma função matemática disponível no programa. Clicando no ponto preto em B2 e arrastando até a célula B6, os cálculos são feitos automaticamente.

Construção do gráfico de uma função quadrática.
Para gerar o gráfico, basta selecionar as colunas e clicar no ícone de construção de gráficos (semelhante ao gráfico tipo pizza) e selecionar as opções apresentadas na imagem acima. Feito isso, o gráfico deve aparecer após clicar no botão Concluir.
Sugerimos deixar os alunos experimentarem outros valores, além de alterarem formatos e caracterísiticas do gráficos, de forma a que eles possam relacionar a variáveis envolvidas, permitindo que a experimentação contribua para a aprendizagem dos conceitos. Essa é uma boa oportunidade para apresentar aos alunos as raízes da função ( ou zeros de uma função), valores de x que resultam em y = 0. Também pode-se solicitar aos alunos para tornarem negativo o valor de x ao quadrado na função e verificarem o que acontece com o vértice da parábola.

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Grupo:Chelsea

Varios Video De Funçao Quadratica

Descupi nao ter postado no url nao to conseguindo =[
http://www.youtube.com/watch?v=sm3FjI7HnYg-Vídeo Aula Função Quadrática 2º Grau
http://www.youtube.com/watch?v=CgtHclkTSU8&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=gAuuQ45oSjQ&feature=fvw
http://www.youtube.com/watch?v=Cjvw6UvIJeE&feature=related-Função do 2° Grau (Parte 1)
http://www.youtube.com/watch?v=vE_UWUSeGyI&feature=related-Função do 2° Grau (Parte 2)

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Grupo:Chelsea